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滤波电路介绍
滤波电路介绍
我们介绍了电路分析的基本概念：节点和环路技术、无源元件及其方程，以及双极晶体管。现在，您应该能够在时域中进行简单的分析，预测带二极管的电路的工作模式并计算简单放大器的偏置点。
然而，现实生活中的电路很难在时域中求解，因为系统将由几个微分方程组成。当非线性组件添加到混合中时，复杂程度变得不切实际。在这种情况下，开发了频域分析，使用拉普拉斯和傅立叶变换来代数求解微分方程。
本指南将以实用的方式展示频率分析的基本原理，并将其应用于无源线性电路。我们还将讨论在其设计中使用频率分析原理的不同滤波器电路，例如低通滤波器、高通滤波器和带通滤波器。
频域分析
我们的大脑用于以时间为参考来理解世界和过程的行为。这称为“时域”分析，我们很想用这个框架来考虑一切，包括电子电路。但是，由于微分方程通常不是很直观，而且求解起来极其困难，因此这种方法对电路分析会适得其反。因此，工程师和数学家使用拉普拉斯变换开发了“频域”框架。
图 1：时域分析与频域分析。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学工具，通过将时间自变量“t”转换为复频率自变量“s”，将微分方程组转换为代数系统。求解步骤包括：
将变换应用于节点系统的每个方程。
求解 's' 中的系统。
应用拉普拉斯逆变换以获得时域中的解。
下面的等式描述了拉普拉斯变换，它是一个积分变换：
正如您可能假设的那样，这些变换很复杂，而且很难从数学上获得。然而，由于线性特性，拉普拉斯变换可以直接应用于单个组件而不是整个节点方程。因为描述电子元件的方程是众所周知的，所以它们的拉普拉斯变换在文献中很容易找到。现在，求解过程变得有点不同：
将拉普拉斯变换应用于电路的每个组件和信号。
使用节点或循环方法来解决's'中的系统。
应用拉普拉斯逆变换以获得时域中的解。
线性组件
可以使用拉普拉斯直接变换每个分量的基本方程。这导致表示组件先前存储的能量的项和与电压和电流之间的比率成比例的项。后一项称为阻抗，它充当频率相关电阻。
电阻：如第一个教程中所见，电阻方程在时间上是恒定的：
由于拉普拉斯变换的性质，常数函数的变换只是相同的常数。因此，电阻器的频率表示是电阻器本身。
电容器：另一方面，电容器方程由电压的时间导数定义：
该方程的拉普拉斯变换为：
我们可以用以下方式重写方程：
请注意，此等式遵循基尔霍夫电压定律。使用这个方程，我们可以在频域中找到电容器的电路模型。图 2 显示了频域模型与时域模型的比较。
图 2：电容器的频率表示
Vc(0-)/t 项表示电容器储存的电压，1/sC 项称为容抗。存储的电压项是一个瞬态信号，随着电容器放电呈指数下降至零。在静止状态下，只有阻抗项很重要，并且电容器等效于值为 1/sC 的“s”相关电阻器。
电感器：类似于电容器，电感器由电流的时间导数定义：
该方程的拉普拉斯变换为：
我们可以重写等式：
该方程遵循基尔霍夫电流定律，因此是一个节点方程。我们可以将该等式的等效电路表示为电流源 I(s)、并联电流源 iL(0-)/s 和并联阻抗 sL，如图 3 所示。
图 3：电感的频率表示
与电容器情况类似，iL(0-)/s 项是存储的电流，sL 是电感阻抗。在静止状态下，电感的作用就像一个依赖于''的电阻，因此得名“阻抗”。
信号
信号源（电压和电流）也是时间的函数。因此，如果工程师对信号的演化感兴趣，在应用拉普拉斯变换时，也应将这些元素转换到频域。
正弦：这是电子学中最重要的信号之一。不仅因为正弦很容易产生，还因为任何信号都可以描述为正弦之和。转换正弦波时，请使用以下恒等式：
阶跃：阶跃函数也对电子学感兴趣，尤其是验证瞬态方面，例如上升时间、溢出、稳定时间等。
例子
为了更好地理解该方法，让我们解决一个简单的问题。考虑下面的电路，我们是否需要获得电容器电压 V C：
图 4：时域中与简单 RC 串联的阶跃信号
电压V S-与振幅“V的阶梯函数IN ”和电容器进行初始放电。现在，我们应用拉普拉斯变换，得到：
图 5：在频域中与简单 RC 串联的阶跃信号
电容器电流I- Ç可以被描述为：
因此，我们需要找到 V 1。由于电容器最初放电，我们可以考虑 。该电路可以通过对节点 1 应用节点分析来求解。 使用基尔霍夫电流定律，我们得到：
现在，隔离 V 1：
现在我们可以找到电容器电流：
最后，我们应用逆拉普拉斯变换。请记住，技术文献提供了电子电路中重要的几个函数的变换和逆变换，因此我们不需要计算积分。使用身份：
我们可以在时域中找到当前的 I C：
这一结果是有道理的，因为目前的指数级下降与新的电压V电容器充电IN-。在 t->infinity 中，电流降至零。请注意，指数因子的比率由 RC 定义。该参数称为时间常数，描述信号在电路中变化的速度。
过滤器
虽然拉普拉斯变换可以很容易地应用于及时发现信号，但电子分析通常可以直接在频域中执行。即：逆变换通常不是必需的。频域分析，也称为小信号分析（用于有源电路），可以使用传递函数的概念在所有线性电路中进行。在这些情况下，我们考虑静止状态的电路。因此，之前的任何电荷和电流都已消散，因此我们无需考虑它们。
传递函数分析
传递函数 (TF) 是一个完整描述线性电路在频域中的功能的函数。要获得 TF，应定义三件事：电路结构、输入和输出。TF 基本上是给定电路的输入和输出之间的比率。例如，考虑到输入 V S和输出 V 1，图5 中电路的传递函数为：
在传递函数中，' s ' 可以替换为 ' j ω '，其中 'j' 是虚数单位，而“ω” 是输入信号的频率，单位为 rad/s。通常我们使用以 Hz 为单位的频率，即 f = ω/(2π)。
对于正弦波（仅适用于正弦波或恒定信号），TF(w) 传递函数充当复数增益。复数增益具有模数和相位：模数直接乘以输入幅度，而相移则加到输入相位上。在本教程中，为简单起见，我们不会讨论相位，但重要的是要知道 TF 引入了相移。可以使用以下等式找到增益模量：
低通滤波器
现在我们终于可以讨论主要的过滤器结构了。最常见和最有用的滤波器类型是“低通滤波器”，它负责消除高于所需点的频率。低通滤波器 (LPF) 的两种经典拓扑如下所示：
图 6：使用电容器、电阻器和电感器的低通滤波器
考虑输入和输出，让我们计算两个滤波器的 LPF 1 (s) 和 LPF 2 (s)。请注意，我们已经将组件转换为其阻抗形式。使用简单的节点方程求解，然后将 s 替换为：
两个滤波器的增益模数变为：
截止频率为：
分别用于 RC 和 RL 电路。LPF 的增益与频率曲线如下所示。
图 7：低通滤波器增益
对于低于截止频率的频率，增益大约为 1，这与在 DC 中电容器开路而电感器短路的想法一致，随着频率从截止频率增加，增益呈指数下降。
高通滤波器
高通滤波器与低通滤波器相反。它的工作是消除低于截止频率的频率。我们通常可以通过切换电路元件的位置来创建高通滤波器。例如，从图6的低通滤波器切换电阻器和电容器，我们有一个高通 RC 滤波器。在 LR 情况下也会发生同样的情况，如下所示。
图 8：使用电容器、电阻器和电感器的高通滤波器
使用与低通滤波器分析完全相同的方法，我们可以找到高通滤波器 (HPF) 增益的模数，如下所述：
请注意，分母表现出与低通滤波器相同的行为。然而，现在分子随频率增加，对于直流信号为零。这意味着，在截止频率之前（分母约为 1），分子从零开始随频率增长。到达截止点后，
，分母可以简化为
，与分子相同，因此增益模数为 1。因此，高通滤波器的增益模数对于高于截止频率的频率为 1，对于高于截止频率的频率小于 1（最终达到零）频率小于截止频率。这种行为可以在下图中看到：
图 9：高通滤波器增益
带通滤波器
带通滤波器 (BPF) 可以看作是 HPF 和 LPF 的组合：它抑制低于较低截止频率和较高截止频率之后的频率。这种增益曲线
图 10：带通滤波器增益
带通电路的典型框图如下所示。电路实现可能有很大差异，但除了框图外还给出了一个 RC 示例。和 的设计方程与为单个 LPF 和 HPF 电路给出的设计方程相同。
图 11：带通滤波器增益
高阶滤波器
本教程中给出的电路称为一阶滤波器。也就是说，时间导数是一阶的（这意味着“s”变量指数为 1）。可以组合电感器和电容器或有源器件来制作高阶滤波器，从而使“s”指数大于 1 并具有更好的抑制能力。这些过滤器将在以后的教程中讨论。